こんにちは。萃聚（すいじゅ）です。
このページではタイトルにもある通り、2021年灘高入試数学の全問解説を行っていきます。あまり灘高校の問題を解いたことがない身で恐縮ですが、僕から見た難易度（かんたん・ふつう・むずかしい）を表示しておきます。※あくまで個人の感想です。
それでは具体的な解説に参りましょう。

＜大問１＞

＜(1) 問題＞

$\left(2\sqrt2-3\right)^2$を計算せよ。
また、$\sqrt{\sqrt{\left(10-7\sqrt2\right)^2}-\sqrt{\left(7-5\sqrt2\right)^2}}$を計算せよ。

＜(2) 問題＞

箱の中に、数字１が書かれたカードが1枚、数字２が書かれたカードが2枚、数字３が書かれたカードが3枚、数字４が書かれたカードが4枚、合計10枚のカードがある。この箱からAさんはカードを1枚引き、カードに描かれた数字を $a$ とする。そのカードを箱に戻さず続けてBさんはカードを1枚引き、カードに書かれた数字を $b$ とする。このとき、$a>b$ となる確率を求めよ。

＜(3) 問題＞

$a,\ b$ を0でない定数、$c,\ p,\ q$ を定数とする。 $x$ の方程式 $ax^2+cx+b=0$ の解が $x=5,\ p$ であり、$x$ の方程式 $bx^2+cx+a=0$の解が $x=3,\ q$ であるとき, $p+q$ の値を求めよ。

＜(4) 問題＞

図で、△ABCと△ADEは正三角形である。 点Dは辺BC上にあり、BD＞CDである。点Fは辺ACと辺DEの交点である。△ADEの面積が△ABCの面積の $\dfrac{5}{6}$ 倍であるとき、△FDCの面積は△AFEの面積の何倍か。

＜大問２＞

＜問題＞

(1) $ a,\ b,\ c$ はいずれも１以上5以下の整数である。$a,\ b,\ c$ を３辺の長さとする、正三角形でない二等辺三角形がかけるような、$a,\ b,\ c$ の組は全部で何組あるか。
(2) １の目がかかれた面が２つ、2, 3, 4, 5の目がかかれた面が１つずつあるサイコロがある。このサイコロを3回振り、出た目を順に$x,\ y,\ z$ とする。$x,\ y,\ z$ を3辺の長さとする、正三角形でない二等辺三角形がかける確率を求めよ。

＜大問３＞

＜問題＞

$a,\ b$ は等式 $ab^2+(3a+4)b+2a+6=0$　…① を満たしている。
(1) $p=2ab+3a+4$ とする。$p^2$ を $a$ のみを用いて表せ。
(2) $a,\ b\ $ はどちらも、0でない整数とする。等式①を満たす $ a,\ b $ の値を求めよ。

＜大問４＞

＜問題＞

$a$ を正の定数、$t$ を２より大きい定数とする。右の図のように、$x$ 座標が $-t$ の2点A,Bと、$x$ 座標が $t$ の2点C, Dがあり、四角形 ABCDは正方形である。
関数 $y=\dfrac{1}{2}x^2$ のグラフ①は2点A, Dを通り、関数 $y={ax}^2 $のグラフ②は2点B, Cを通る。直線BDとグラフ①のD以外の交点をEとおき、直線BDとグラフ②のB以外の交点をFとおく。
(1) $a$ を $t$ を用いて表せ。
(2)点Eの $x$ 座標を $t$ を用いて表せ。
(3)原点をOとする。△OBFの面積が△OEDの面積の2倍であるとき、$t$ の値を求めよ。

＜大問５＞

＜問題＞

右の図のように、線分ABを直径とする円O上に点Cをとる。 点Cを中心とし、線分ABに接する円O’をかく。さらに、円O’と線分ABの接点をDとおき、2円O、O’の交点を右の図のようにE, Fとおく。直線CDと円OのC以外の交点をGとおき、点Eが線分CHの中点となるように点Hをとる。
(1)∠CHD=∠CGEを証明せよ。
(2)２直線CG, EFの交点をMとおくと、Mは線分CDの中点であることを証明せよ。

＜大問６＞

＜問題＞

図は、一辺の長さが２の正十二面体で、O, A, B, C, Dはその頂点である。4点A, B, C, Dは同一平面上にあり、この平面をPとおく。次の問いに答えよ。なお、線分ABの長さが $1+\sqrt5$ であることは証明なしに用いてよい。
(1)点Oと平面Pの距離は１であることを証明せよ。
(2)この正十二面体を平面Pで2つの立体に切り分けたとき、点Oを含む方の立体の体積を求めよ。