$y=ax^2$の傾きの公式？

こんにちは。萃聚(すいじゅ)です。
ほら、$y=ax^2$上にある、$x$ 座標が $p$, $q$ の２点を通る直線の傾きは、$a(p+q)$ って言われます。
でもうちの先生はこう言うんですよ。「その公式を覚えておく必要はない」って。
そんなニッチな場面でしか使えないし、理由もわからずに濫用すると間違いを引き起こすし、１次関数の$「y-q=a(x-p)」$の $a(x-p)$ との混同を防ぐという理由もあるのかと思います。
ただ、なぜその公式になるのかというのを知っておく、理解しておくのは十分役に立つと思います。
そんなに難しい話ではありません。$x$ 座標が $p$, $q$ ですから２点は $(p, ap^2)$と$(q, aq^2)$ です。
よって、傾きは
\[\frac{ap^2-aq^2}{p-q}=\frac{a(p^2-q^2)}{p-q}=\frac{a(p+q)(p-q)}{p-q}=a(p+q)\] \[\begin{eqnarray*}\frac{ap^2-aq^2}{p-q}&=& \frac{a(p^2-q^2)}{p-q}\\&=& \frac{a(p+q)(p-q)}{p-q}\\&=& a(p+q)\end{eqnarray*}\] となるわけです。2乗－2乗が出てきて約分することで次数が下げられるというのがポイントだと思います。