解と係数の関係の理屈

こんにちは。萃聚(すいじゅ)です。
解と係数の関係は普段あまり使わない上に符号や分数がややこしいので、いざ使うとなるとよく忘れます。でも、簡単に導けるので、導き方を知っておけば忘れても安心です。

簡単な導き方

${ax}^2+bx+c=0$ の解を $p$, $q$ とします。もちろん２次方程式ですので $a≠0 $です。
まず、${ax}^2+bx+c=0$ を両辺 $a$ で割ります。
すると、$x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0$ となります。
次に、これを因数分解した後の形を考えます。
解が $p$, $q$ より、$x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}$ を因数分解したら $(x-p)(x-q)=0$ という形になるはずです。
展開して、$x^2-\left(p+q\right)x+pq=0$ です。
よって、 \[x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=x^2-\left(p+q\right)x+pq\] となります。$x$ の係数部分と、定数部分にそれぞれ着目してあげて、
\[\frac{b}{a}=-\left(p+q\right)\ よって\ -\frac{b}{a}=p+q\] \[\frac{c}{a}=pq\] という、2本の解と係数の関係の式が導けました。