〇と｜の使い方

こんにちは。萃聚(すいじゅ)です。
場合の数で高校受験の問題集（稀に中学受験の本にも。「秘伝の算数」など。秘伝の算数についてはこちらをクリック）を見ていると、よく、「〇〇〇〇〇〇」みたいに〇が並べてあって、その間に矢印や「｜」などが描かれている解法が出てきます。
この2021灘中１日目でも出てきました→こちらをクリック

例１

例えば、簡単な問題だと「６個の同じケーキを３人で分けます。最低１個ずつもらえるとき、分け方は何通りですか」みたいな感じです。
解答としては、ケーキを「〇」として、「〇〇〇〇〇〇」の間の５つのスペースの中から、仕切りを入れる２つのスペースを選んであげます（３人だから仕切りは２つ）。
例えば「〇〇｜〇〇〇｜〇」というのは、左からAくん２個、Bくん3個、Cくん１個という意味です。
で、５つの場所から２か所を選びますから、${}_5 C_2=10通り$が答えになります。

例２

一方、よく似た問題で「６個の同じケーキを３人で分けます。１個ももらえない人がいてもいいとして、分け方は何通りですか」というのがあります。
こちらの解答は、ケーキを「〇」、仕切りを「｜」として、「〇〇〇〇〇〇｜｜」を並べる場合の数です。
例えば「〇〇｜〇〇〇〇｜」は左からAくん２個、Bくん４個、Cくん０個という意味です。
で、${}_8 C_2=28通り$が答えになります。

ということで、「最低１個ずつもらえる」というのは間に仕切りを入れる並べ方、「１個ももらえなくていい」というのは仕切りも一緒に並べる並べ方、となるわけです。
考えればすぐわかりますのでもちろん覚える必要はないですけど。

備考

あ、先ほどは「６個の同じケーキ＆１個ももらえない人がいてもいい」でしたが、「６個の違うケーキ＆１個ももらえない人がいてもいい」はもっと簡単です。６個のケーキがそれぞれ意思を持ったと仮定して、それぞれのケーキはどの人に食べられるかを選ぶことができますから、3の6乗です。

なお、ケーキを区別しない/するの違いだから、さっきの28に、ケーキの区別の仕方の 6!=６×５×４×３×２×１をかけて…とするのはダメです。だって、Aくんが３個ケーキをもらったとして、「ショートケーキ、チョコケーキ、チーズケーキ」と「チーズケーキ、ショートケーキ、チョコケーキ」は同じですから。

応用例

本題の〇と｜の使い方に戻りますが、もっといろんな使い方もできます。
「おやつを２日連続して食べないようにして、この７日間で３日、おやつを食べていい日にするのは何通り？」という問題があったとします。
この場合、おやつを食べない日を「〇」として４つ「〇〇〇〇」を、食べる日を「｜」として３つ「｜｜｜」を準備し、この７つを並べます。
例えば「｜〇〇｜〇｜〇」とすると、最初の日、４日目、６日目がおやつを食べていい日となります。
おやつを食べていい日の候補（「｜」の入れ方）は５通りで、３つ入れますから、${}_5 C_3={}_5 C_2=10通り$となるわけです。
結構便利です。