TOP ＞数学部＞中学・高校入試解説＞灘中入試2021　１日目

こんにちは。萃聚（すいじゅ）です。
このページではタイトルにもある通り、2021年灘中入試算数１日目の全問解説を行っていきます。2019年→激ムズ　2020年→比較的簡単　という感じで迎えた2021年ですが、全体的な感想としては例年通りの難易度に戻ったかなぁという感じがします。
あと、僕から見た難易度（かんたん・ふつう・むずかしい）を表示しておきます。難易度についていろいろ意見はあると思います。あくまで個人の感想です。
＜計算、文章題ゾーン＞
大問１→かんたん
大問２→かんたん
大問３→ふつう
大問４→かんたん
＜数の性質ゾーン＞
大問５→むずかしい
大問６→むずかしい
大問７→むずかしい
＜平面図形ゾーン＞
大問８→かんたん
大問９→かんたん
大問10→ふつう
＜立体図形ゾーン＞
大問11→むずかしい
大問12→ふつう
このように、細かい分野で見ると数の性質ゾーンが難しかった年だったと思います。特に大問５は問題文がシンプルかつ難しい、灘らしい問題だったと思います。
それでは具体的な解説に参りましょう。

重要

小学生の方々へ：本サイトでは方程式を使っていきます。１つは、方程式は抽象的なので中学受験生が下手に方程式に手を出すと危ないですが、灘中受験生くらいなら十分使えるため（根拠は自分）で、もう１つは、中学入試は中学校の先生が作っているんだから当然中学生的な数学の解法で解くと速いからです。ご了承ください。

実際の入試では求める数が「□」と書かれていますが、このページでは、「～の値を求めなさい」のように問題文を変更していることがあります。ご了承ください。

何かありましたら下にあるコメント欄にお願いします。別解等、ありましたらぜひお願いします。

＜大問１＞

＜問題＞

\[9\frac{32}{221}\div\left(1\frac{1}{17}-\frac{x}{13}\right)=(12+19\times11)\times\left(\frac{1}{13}+\frac{2}{17}\right)\] \[\scriptsize9\frac{32}{221}\div\left(1\frac{1}{17}-\frac{x}{13}\right)=(12+19\times11)\times\left(\frac{1}{13}+\frac{2}{17}\right)\]
  • \[\frac{2021}{221}\div\left(1\frac{1}{17}-\frac{x}{13}\right)=221\times\frac{43}{221}\] \[1\frac{1}{17}-\frac{x}{13}=\frac{2021}{221}\times\frac{1}{43}\] \[\frac{18}{17}-\frac{x}{13}=\frac{47}{221}\] \[\frac{234-17\times{x}}{221}=\frac{47}{221}\] \[x=11\]
  • 灘中は例年、計算問題にその年の数字を出してきます。今年は2021で、 $2021＝47\times43$ が出てくることは確実視されていて、案の定、上の式の３行目の約分で使いました。また、13×17＝221（2021から0をなくしたもの）も出てきていて、221も、225－4＝152－22＝17×13　となる、綺麗な数です。

＜大問２＞

＜問題＞

3つの容器A, B, Cにあわせて600mlの水が入っています。容器Bの水の体積は容器Aの水の体積の1.5倍です。容器Aから容器Bに水を40ml移すと、容器Bの水の体積は容器Cの水の体積の1.4倍になりました。水を移した後の容器Bの水の体積を求めなさい。
  • 最初のAに入っている水を$2x$〔ml〕とおくと、この表のようになります。
  • 最初 移した後
    A $2x$ $2x-40$
    B $3x$ $3x+40$
    C $600-5x$ $600-5x$
  • 問題の条件より、
  • \[3x+40=1.4(600-5x)\]
  • \[x=80\]
  • 求めるものは移した後のBですから、
  • \[移した後のB＝3x+40=3×80+40=280\]
  • \[移した後のB\\＝3x+40=3×80+40\\=280\]
  • 表を描くなど、わかりやすく整理するのは大事だと思います。

＜大問３＞

＜問題＞

2021の各位の数の和は2+0+2+1＝5です。このように、各位の数の和が5である４桁の整数は、2021を含めて全部でいくつありますか。そしてそれらの整数の中で2021は小さい方から数えて何番目ですか。
  • まず最初の問ですが、各位の和が５で、4桁より、
    〇〇〇〇〇|||
    上のように〇を５つと棒を3本並べる並べ方の場合の数から、千の位が0となるもの（4桁にならないもの）を引けばいいです。
    千の位が0となるものは、一、十、百の位の和が5より、
    〇〇〇〇〇||
    上のように〇を５つと棒を2本並べる場合の数と等しいです。
    以上より、\[{}_8 C_3 -{}_7 C_2=56-21=35\]です。
  • 次の問は、千の位が１のとき一、十、百の位の和が４より、
    〇〇〇〇||
    上のように〇を４つと棒を2本並べる場合の数と等しいです。
    この場合の数は ${}_8 C_3=15通り。$
    千の位が2のものは、小さい方から順に、2003→2012→2021となるので、2021は15+3＝18番目です。
  • この〇と|を使った場合の数の計算方法は別のページでも紹介しています（ここをクリック）。ぜひご覧ください。
    〇と|を使った方法は計算も素早くできてわかりやすく、中学校になっても使うのに、あまり中学受験界では語られることがないです…。たぶん方程式と同じく、小学生には抽象的で若干難しいからでしょうか。でも、灘中受験生になら十分教えていいと思うんですが。

＜大問４＞

＜問題＞

右の図のような正方形ABCDの辺上を３点P, Q, Rが動きます。
点Pは点Bを出発し図の矢印の向きに、点Qは点Aを出発し図の矢印の向きに、点Rは点Cを出発し図の矢印と反対の向きに動きます。
点Qの動く速さは点Pの動く速さの３倍です。３つの点が同時に出発し、点Pと点Rがはじめて出会うのにかかった時間は、点Qと点Rがはじめて出会うのにかかった時間の２倍でした。点Rの動く速さは点Pの動く速さの何倍ですか。
  • Pの速さを $p$ , Qの速さを $q$ , Rの速さを $r$ , 正方形の1辺の長さを $x$ とすると、以下の式ができます。\[q=3p　…①\] \[\frac{3x}{p+r}=2×\frac{2x}{q+r}　…②\] ①を、②に代入して、\[\frac{3x}{p+r}=\frac{4x}{3p+r}\]解いて、\[r=5p\] よって、Rの速さはPの速さの５倍です。
  • 中学受験なら、別にわざわざ正方形の１辺を「 $x$ 」とかとしなくても、「１」で大丈夫です。

＜大問５＞

＜問題＞

Aは２桁の整数で、A×Aを15で割ると1余ります。このようなAは全部で何個ありますか。
  • ２回かけたものを15で割ると１余るなら、その数の余りがどうなるかというのを調べれば良さそうです。
    まず、その数の余りが1だったら、そりゃあ2回かけても余りは1×1で１ですから、余りが１である数というのはAです。
    また、２回かけたものを15で割った余りが1ということは、15で割って余りが16という風に言い換えられます。で、16は、4を２回かけたものですから、余りが4である数というのもAです。
    そうやって、16、31、46…と、1に15ずつ足していった数が何かの数を２回かけたものにならないかなぁと調べていくと、11を２回かけた121と、14を２回かけた196が出てきます。
    ということで、Aとして、15で割って余りが1、4、11、14の２桁の数を調べればいいわけです。
    余りが1→15×1+1＝16から15×6+1＝91の６個
    余りが4→15×1+4＝19から15×6+4＝94の６個
    余りが11→15×0+11＝11から15×5+11＝86の６個
    余りが14→15×0+14＝14から15×5+14＝89の６個
    全部足して、6+6+6+6＝24個です。

    ちなみに、小学生には必要ないですが、高校課程ならこうします。
    $A^2$≡1 mod 15　よりA≡±1 で、また、$A^2$≡16 とも表せるから、A≡±4　となる。この後、$A^2$≡31、$A^2$≡46、$A^2$≡61 …となり、これ以上 $A≡±n$ ( $n$ は整数、$n＜7.5$ ）となる整数 $n$ は存在しない（※7.5となっているのは、A≡±1でA≡－1のようになったとき、A≡14と同じことだから）。
    よって、2桁のAで、mod 15においてA≡±1とA≡±4を調べればいいことになる。
    A≡1→15×1+1＝16、…、15×6+1＝96　の6個
    A≡－１→同様に6個　
    A≡４→同様に6個　
    A≡－４→同様に6個
    以上より、６+６+６+６＝24個
    途中でmodという記号が出てますが、マイクラとかのmodとは意味が違いますのでご注意ください。
  • 正直、中学生でも初見では難しいかなぁと思います。どこか抜けるんですよ。僕は初見で11と14を見落として「12個」と書いてしまいました。受験生も僕と同じく12個と答えた人が少なからずいたのではないかと思います。

＜大問６＞

＜問題＞

２以上の整数Aに対して、Aの約数をすべてかけあわせてできる数を[ A ]と書きます。例えば、[ 6 ]=１×２×３×６＝36です。
$B=6$ のとき、$\dfrac{[ 2\times B ]}{[ B ]}$の値を求めなさい。また、$\dfrac{[ 2\times C ]}{[ C ]}=192$ となる２以上の整数Cを求めなさい。
  • \[\begin{eqnarray*}\dfrac{[ 2\times B ]}{[ B ]}&=& \frac{[ 12 ]}{[ 6 ]}\\&=& \frac{1×2×3×4×6×12}{1×2×3×6}\\&=& \frac{12^3}{6^2}\\&=& 6×2^2=48\end{eqnarray*}\] 続いて $y$ ですが、約数をすべてかけたものは、\[[ n ]=n^{nの約数の個数÷2}\]となります。
    たとえば12を挙げましょう。12＝２×２×３なので、約数の個数は (2+1)×(1+1)＝6個です。よって、\[[ 12 ]=12^{6÷2}=12^3=1728\]となるわけです。なぜそうなるかは簡単です。12の約数を、ペアで書きだしていくと、(1, 12) (2, 6) (3, 4)となります。ペアはかけて12になり、ペアの個数は6÷2で3個ですから、12を3回かければいいということです。
    ということで、問題に戻りますが、2Cの約数の個数を $2a$ 個、Cの約数を $2b$ 個とおくと、 \[\frac{[ 2C ]}{[ C ]}=\frac{(2C)^a}{C^b}=\frac{2^a C^a}{C^b} =2^a×C^{a-b}\] \[\frac{[ 2C ]}{[ C ]}\\=\frac{(2C)^a}{C^b}\\=\frac{2^a C^a}{C^b} \\=2^a×C^{a-b}\] これが192より、\[2^a×C^{a-b}=192\] $ 192=2^6\times3$ より、$C^{a-b}$ は３の倍数ですが、９の倍数ではないです。ですから、$a-b=1$ です（２以上なら、9の倍数になってしまうから）。よって $2^a\times\ C=192$
    以上の条件を基に、$a$ を基準にして全部調べていきます。
    なお、 \[C=192\div2^a\] \[b=a-1\] \[b'=Cの約数の個数÷２\] で、横の１～６の数字は $a$ の値です。
    $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$
    $C$ 96 48 24 12 6 3
    $b$ 0 1 2 3 4 5
    $b'$ 6 5 4 3 2 1
    この表より、$b=b’$ となるものはC=12のときのみです。そして、C＞２で適します。
  • 結構難しいです。もう少し楽な解法があるかもしれませんけど、それでも難しそうです。私立難関高校入試に出てもおかしくない気がします。

＜大問７＞

＜問題＞

Xは３桁の整数で、どの２つの位の数も異なります。Xを７倍すると４桁の整数ABCDを作ることができ、A>B、B>C、C>D、D>0となりました、このときのXを求めなさい。
  • まず、Aの範囲をしぼりこんでいきます。 ABCDを７で割るとXになり、Xは3桁になるので、A＜7（7以上なら、Xが4桁になる）です。
    また、最小のAは、D=1、C=2、B=3、A＝４のときのA=4です。
    よって、４≦A≦６となります。
    (ⅰ)　A＝４のとき
    ABCD=4321しかないです。4321は７で割り切れずアウト。
    (ⅱ)　A＝５のとき
    5BCDを７で割ります。Bとしてありえるのは4か3なので、右図で百の位の上には７が立ちます。
    ＜１＞B＝4のとき　
    右図の筆算で「ア」の位置に５が入りますが、Cは３か２なので、「イ」の位置に７が入ることになります。X＝77□となり、同じ数字が使われていて、アウトです。
    ＜２＞B＝３のとき
    Bが３のとき、ABCD=5321となりますが、７で割り切れずアウトです。
    (ⅲ)　A＝６のとき

     6BCDを７で割ります。Bとしてあり得るのは５、４、３なので、百の位の上には９が立ちます。
    ＜１＞B＝５のとき　
    Cとしてありえるのは４、３、２なので、十の位の上には３が立ちます。 C=４のとき、「ウ」には３が入り、D=５でないと割り切れないですがC>Dを満たさずアウト。
    C=３のとき、「ウ」には２が入り、D=８は同様にアウト、D=１の場合、X＝933で、同じ数が使われていてアウトです。
    C=２のとき、「ウ」には１が入り、これもC＞Dを満たさずアウトです。
    ＜２＞B＝４のとき
    Cとしてありえるのは３、２なので、十の位の上には１が立ちます。
    C=３のとき、「エ」には６が入り、D=３でないと割り切れないですがC>Dを満たさずアウト。
    C=２のとき、「エ」には５が入り、同様にC>Dを満たさずアウト。
    ＜３＞B=３のとき
    このとき、ABCD=6321となりますが、X=903となり、条件を満たしOKです。
    よって、X=903
  • ただ単に面倒な問題です。まあ、作業するだけなので、解き切った人は得点できたことでしょう。Aの範囲を決めてから、地道に作業する力が必要です。

＜大問８＞

＜問題＞

縦の長さが1㎝、横の長さが3㎝の長方形と、1辺の長さが2㎝の正三角形が、図のように置かれています。正三角形が、長方形の周に沿って、すべることなく図の矢印の向きに回転し、はじめて元の三角形の位置に戻るまで移動します。このとき頂点Aが動いてできる線の長さは何㎝ですか。ただし、円周率は$ 3\dfrac{1}{7}$とし、１辺の長さが2㎝の正三角形の面積は$1\dfrac{3}{4}$ ㎠とします。また、頂点Aは元の位置に戻るとは限りません。
  • 図のようになります。
    \[4\pi\times\frac{120}{360}+2\pi\times\frac{90}{360}+4\pi\times\frac{120}{360}+\frac{7}{2}\pi\times\frac{90}{360}+4\pi\times\frac{210}{360}=\frac{51}{8}\pi\] \[4\pi\times\frac{120}{360}\\+2\pi\times\frac{90}{360}\\+4\pi\times\frac{120}{360}\\+\frac{7}{2}\pi\times\frac{90}{360}\\+4\pi\times\frac{210}{360}\\=\frac{51}{8}\pi \] この問題では $\pi=\dfrac{22}{7}$ より、 \[=\frac{51}{8}\times\frac{22}{7}=\frac{561}{28}\]
  • 円周率は最後にかけるのが基本です。灘中受験生ならきっと解けることでしょう。中学生の立場から見ると、正三角形の面積が指定されていたり、円周率が指定されているのは不思議な感じがします。

＜大問９＞

＜問題＞

右の図で、△ABCの面積は80㎠、△ADFの面積は10㎠、△CFEの面積は35㎠、FCの長さはAFの長さの３倍です。BFとDEの交わる点をGとするとき、GFの長さはBGの長さの何倍ですか。
  • △ADFと△ABCにおいて、
    　 AD×AF：AB×AC＝10：80
    AF：AC＝1：4より、
    AD：AB＝１：２
    よってAD：DB＝1：1
    △CFEと△ABCにおいても同様に、
    BE：EC＝5：7
    よって、△BDEと△BACにおいて、
    △BDE：△BAC＝BD×BE：AB×BC＝5：24
    △BDE＝$80×\dfrac{5}{24}=\dfrac{50}{3}$
    △DEF＝△ABC－△ADF－△BDE―△CFE＝$80－10－35－\dfrac{50}{3}＝\dfrac{55}{3}$
    BG：GF＝△BDE：△DEF＝ $\dfrac{50}{3}$ : $\dfrac{55}{3}$＝10：11
    $\therefore$GF＝BG×1.1
  • 基本に忠実な問題です。まさか灘で出てくるとは思いませんでした。
    あ、小学生向けに言っておきますが、答案の最後の「∴GF＝BG×1.1」の「∴」は「ゆえに」とか「よって」、英語だと「therefore」という意味で、結論を示すときに使います。TeXコマンドでもそう書いてます。決して茶畑の地図記号ではないのでご安心ください。
    なお、「∵」は「なぜなら」です。顔文字ではありません('_')

＜大問10＞

＜問題＞

直角三角形を図のように三角形ABCと三角形DEFに切り分けます。これらの２つの三角形を図のように重ねたとき、斜線部分の面積は何㎠ですか。
  • △BGFと△BAIは相似より、GF＝１×$\dfrac{4}{8}$=0.5
    また、∠ECA＝90°(くっつけてるから、∠CAIと∠ECFって一緒でしょ)で、△ACHと△BGFは相似より、
    HC＝５×$\dfrac{1}{2}$＝2.5
    よって、
    EG：EF＝5：6
    EH：EC＝1：2
    これより、
    △EGH：△EFC＝EG×EH：EF×EC＝５：12
    したがって四角形GFCH：△EFC＝7：12
    \[\therefore 四角形GFCH＝△EFC×\frac{7}{12}＝6×\frac{7}{12}=3.5\] \[\therefore 四角形GFCH\\＝△EFC×\frac{7}{12}\\＝6×\frac{7}{12}\\=3.5\]
  • 小学生にはまあまあ難しい問題だと思います。もっと楽なやり方あったかもしれません。

＜大問11＞

＜問題＞

右の図のように、三角すいの形をした容器があり、４つの面の面積は16㎠、18㎠、20㎠、24㎠です。この容器にはいくらかの水が入っています。この容器を、４つの面のいずれかが水平な地面につくように置きます。容器の内側の面のうち水にぬれる部分の面積が最も大きくなるように置いたとき、水にぬれる部分の面積は60㎠となります。水にぬれる部分の面積が最も小さくなるように置いたとき、水にぬれる部分の面積は何㎠になりますか。
  • 余事象的考えを使ってみます。水の量は一定ですから、空気の部分の体積も一定のはずです。
    さらに、水面と底面は平行という条件もあるので、空気の部分の三角錐は底面をどこにとっても合同です。なお、この空気部分の三角錐は全体の容器の三角錐と相似です。
    水にぬれる面積＝全体―ぬれていない面積ですから、ぬれていない面積が最小になればいいです。
    空気の三角錐の各面の面積比は、全体の容器の三角錐と相似より、8：9：10：12です。それぞれの面の面積を $8k$, $9k$ , $10k$ , $12k$ としますと、ぬれていない面積はこのうちの３つで、それが最小になるのですから、残りの一番大きな $12k$ の面が水面と平行になればいいということです。
    すなわち、全体の容器で24㎠の面が底面となるということです。（言葉ではわかりづらいですが図をかけば一目瞭然）
    で、このとき 16 ㎠の面について考えると、ぬれている部分は、 \[(60―24)\times\frac{16}{16+18+20}=\frac{32}{3}㎠\] ぬれていない部分は$16－\dfrac{32}{3}=\dfrac{16}{3}㎠$となりますから、$8k=\dfrac{16}{3}$
    $ k=2/3$
    水にぬれる面積が最小となるとき、ぬれていない面積は $9k, 10k, 12k$ の面であればいいから、
    $水にぬれる面積\\ ＝全体―ぬれていない面積\\＝78－(9k+10k+12k)\\=78－31k=78－31×\dfrac{2}{3} \\＝\dfrac{172}{3}$
  • 数学や算数において、すべての事柄は「Aである」か「Aでないか」に分けられます。例えば「大人である」か「大人ではない」という感じです。
    そして余事象という考え方は、全体からAでない部分を引けばAになるという考え方です。場合の数でよく使います。場合の数で、求めるAであるものが複雑なとき、Aでないものを引けば簡単になったりします。
    例えば、1桁の自然数をかけて偶数になるものの個数を求めよ、という問題に対して、全体の９×９＝81個から、奇数になる場合の数を引けばいいわけです。奇数＝奇数×奇数でしか成立しませんから、奇数になるのは5×5＝25個。よって、81－25＝56個という感じです。

＜大問12＞

＜問題＞

ある立体の展開図を、幅が３㎝の方眼紙にかくと、右の図の太線のようになりました。斜線をつけた三角形は正三角形です。また、正方形でない四角形の面はすべて長方形です。この立体の体積は何㎠ですか。

  • 図のような立体になります。立方体４つと、三角柱３つと、三角錐１つです。 \[体積＝3^3×4+3×3÷2×3×3+3×3÷2×3÷3=153\] \[x\\＝3^3×4+3×3÷2×3×3+3×3÷2×3÷3\\=153\]
  • まあ難しいですが、落ち着いて考えれば解けるのではないかと思います。
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