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こんにちは。萃聚（すいじゅ）です。
このページではタイトルにもある通り、2021年灘中入試算数２日目の全問解説を行っていきます。１日目は別ページ（ここをクリック）です。 あと、僕から見た難易度（かんたん・ふつう・むずかしい）を表示しておきます。※あくまで個人の感想です。
＜大問１＞
(1)→かんたん
(2) (ア)→かんたん
(2) (イ)→ふつう
＜大問２＞
(1)→ふつう
(2)→ふつう
(3)→ふつう
＜大問３＞
(1)→かんたん
(2)→ふつう
(3)→ふつう
＜大問４＞
(1)→かんたん
(2)→ふつう
(3)→ふつう
(4)→ふつう
(5)→ふつう
＜大問５＞
(1)→かんたん
(2)(ア)→むずかしい
(2)(イ)→ふつう
(2)(ウ)→おに
個人的には大問５の立体切断がかなり難しかったと思います。残りの問題はそこまでつらくはなかったので、いかに大問５に時間を残せるかというところだったのではないかと。
それでは具体的な解説に参りましょう。

重要

小学生の方々へ：本サイトでは方程式を使っていきます。１つは、方程式は抽象的なので中学受験生が下手に方程式に手を出すと危ないですが、灘中受験生くらいなら十分使えるため（根拠は自分）で、もう１つは、中学入試は中学校の先生が作っているんだから当然中学生的な数学の解法で解くと速いからです。ご了承ください。

実際の入試では求める数が「□」と書かれていますが、このページでは、「～の値を求めなさい」のように問題文を変更していることがあります。ご了承ください。

何かありましたら下にあるコメント欄にお願いします。別解等、ありましたらぜひお願いします。

＜大問１＞

＜問題＞

水に液体Xを溶かしてできる水溶液をA液と呼び、A液の重さに対する液体Xの重さの割合を百分率(%)で表したものをA液の濃度と呼ぶことにします。
例えば、水5gに液体Xを45g溶かしてできるA液の濃度は90％です。また、水10gに液体Xを20g溶かしてできるA液の濃度は$66\dfrac{2}{3}%$です。
(1)　濃度が96％のA液をいくらか用意します。これに水を加えてかき混ぜて、重さが120gで、濃度が60％以上80％以下のA液をつくります。はじめに用意する、濃度が96％のA液の重さは何g 以上何g 以下ですか。
(2)　３つの容器P, Q, Rがあります。Pには濃度が96％のA液が144g、Qには水が150g、それぞれ入っています。Rには何も入っていません。PからA液をちょうど８gずつ何回か量りとりRに入れ、Qから水をちょうど10ｇずつ何回か量りとりRに入れます。
　(ア)　PとQから、それぞれ何回量りとりRに入れ、かき混ぜると、RのA液の濃度は72％になりますか。
　(イ)　濃度が60％以上のA液をRにできるだけ多く作るには、P, Qからそれぞれ何回ずつ量りとって混ぜればよいですか。またそのときにできるA液の濃度を求めなさい。
  • (1)
    \[60\leqq操作後のA液の濃度\leqq80\]\[60\leqq X液の重さ120×100≦80\] \[\small60\leqq操作後のA液の濃度\leqq80\]\[\small60\leqq X液の重さ120×100≦80\] \[72\leqq X液の重さ≦96\] 最初のA液は96％より、 \[72\times\frac{100}{96}\leqq最初のA液の重さ\leqq96×\frac{100}{96}\] \[\scriptsize72\times\frac{100}{96}\leqq最初のA液の重さ\leqq96×\frac{100}{96}\] \[75\leqq最初のA液の重さ≦100\] (2)
    （ア）P の液体（96％）を８ｇずつ加える操作を $x$ 回、Qの水を10ｇずつ加える操作を $y$ 回したとします。
    その後、R の濃度は問題文より72％、Rの重さは $8x+10y$ 、R の中のX の重さは $8×\dfrac{96}{100}×x=\dfrac{192x}{25} $ より、 \[\frac{\dfrac{192x}{25}}{8x+10y}\times100=72\] 解いて、$4x=15y$　よって $x:y=15:4$
    $x$、$y$ はともに整数で、144÷8＝18より $x≦18$となりますから、これを満たす $x, y$ の組み合わせは $(x, y)=(15, 4)$です。 よって、Pから15回、Qから４回で、72％になります。
    （イ） できるだけ多く作って、濃度は60％以上をキープしないといけないんですよ。
    Pには96％のA液が入っていて、Qは水（0％）が入っているんですから、とりあえずPを全部加えて、その後Qで薄めていき、60％を切る直前でやめる、というのが一番多くなりそうです。
    まず、P液は144g全部使いますから、加えたQ液の重さを $a$ とおくと、最後にできた液体の全体の重さは $144+a$ です。また、最後にできた液体に溶けているXの重さは $144×\dfrac{96}{100} $となります。 最後にできた液体の濃度は60％以上より、 \[\frac{144\times\dfrac{24}{25}}{144+a}\times100\geqq60\] 解いて、　 \[a\leqq\frac{432}{5}\] Qは10ｇずつ加えるから、aは10の倍数で、これを満たす最大のaは80です。 以上より、Pについて144÷8＝18回、Qについて80÷10＝8回操作を行うことになります。
    ゆえに、このときのAの濃度は、 \[\frac{144\times\dfrac{24}{25}}{144+80}\times100=\frac{432}{7}\]
  • かなりゴリゴリの不等式で答えまで持っていきましたが、小学生なら不等式なんて使わないで、60％のときの値を求めるなどした方がいいです。

＜大問２＞

＜問題＞

下の図のようにたくさんのマス目があります。最も上の段と最も左の列のマスにはすべて１を書き入れます。それら以外のマスには、その１つ上のマスに書かれた数と１つ左のマスに書かれた数の和を書き入れます。図で斜線をつけたマスを左上の隅とする、縦４マス横４マスの正方形の中に、偶数は全部で７個あります。
(1)　図で斜線をつけたマスを左上の隅とする、縦８マス横８マスの正方形の中にある偶数の個数を求めなさい。
(2)　図で斜線をつけたマスを左上の隅とする、縦16マス横16マスの正方形の中にある偶数の個数を求めなさい。
(3)　図で斜線をつけたマスを左上の隅とする、縦32マス横32マスの正方形の中にある偶数の個数を求めなさい。
  • これはどちらかというと、規則性を見つける問題です。手作業で書いていけば、なんとなく見えてくるものがあります。というか、知識があればそれで瞬殺なんですが。
    まあとりあえず、(1)は手作業で求めます。
    最初の図のようになりまして、灰色に白文字のところが偶数になります。なお、試験本番では、いちいち計算するのではなく、2で割った余りに注目して、1か0を書いて、それで同様の操作（上と左を足していく）をしていくのがいいでしょう。次の図のような感じです。
    さて、結論から言うと、32まで書くと最後の図のような感じになります。規則的な模様が出てきているのがお気づきでしょう。
    いわゆるフラクタル図形（図形の一部分と図形全体が相似の図形）のようなものです。
    あとは、規則に従って考えればいいわけです。
    ということでこの問題の答えは、
    (1)
    1×3+(1+2+3)×1+(1+2+3+4+5+6+7)×1
    =1×3+(4×3÷２)×1+(8×7÷２)×1
    =3+6+28
    =37
    (2)
    1×9+6×3+28×1+(16×15÷２)×1
    =9+18+28+120
    =175
    (3)
    1×27+6×9+28×3+120×1+(32×31÷２)×1
    =27+54+84+120+496
    =781
  • …もう気づいている人かもしれませんが、実はこの問題、パスカルの三角形をただ単に向きを変えただけの問題なんです。
    パスカルの三角形には、コンビネーションと深くかかわっているなど、面白い性質がいっぱいあります。
    そして、パスカルの三角形でnの倍数だけ塗りつぶすと、とてもきれいな図形が出てくるということは広く知られていることです。
    灘中受験生ならば一度はその話を聞いたことがあったでしょうから、パスカルの三角形だと気づいた人はきっと得点源になったでしょう。

＜大問３＞

＜問題＞

１辺の長さが２㎝の正六角形ABCDEFがあり、下の図のように点G, H, I, J, Kをとります。４点G, H, I, Fは同じ直線上にあり、４点A, I, J, kは同じ直線上にあり、４点G, C, D, Kは同じ直線上にあります。
(1)　CHの長さとDKの長さはそれぞれ何㎝ですか。
(2)　三角形AIFの面積は、正六角形ABCDEFの面積の何倍ですか。
(3)　五角形CDJIHの面積は、正六角形ABCDEFの面積の何倍ですか。
  • (1)　図のようにすると、
    △LHFと△CHGは相似より \[CH＝LC×\frac{GC}{LF+GC}＝4×\frac{1}{5}＝0.8\] \[CH＝LC×\frac{GC}{LF+GC}\\＝4×\frac{1}{5}\\＝0.8\] △AJMと△KJDは相似より \[DK＝AM×\frac{JD}{JM}＝4×\frac{1}{3}=\frac{4}{3}\] (2)　図のようになります。対角線の交点がOです。
    AI：IK=AF：GK=6：13
    AO：OD=1：1
    よって、△AIFと△AOFの高さの比は12：7
    この二つの三角形は底辺共有より、
    △AIF＝△AOF×$\dfrac{7}{12}$
    \[＝正六角形ABCDEF×\frac{1}{6}×\frac{12}{19}\] \[\small＝正六角形ABCDEF×\frac{1}{6}×\frac{12}{19}\\ \] \[＝正六角形ABCDEF×\frac{2}{19} \]
    (3) 上の図を見た方がわかりやすいかも。
    五角形CDJIH＝正六角形ABCDEF-四角形FIJE-四角形ABHFです。

    四角形FIJE
    \[＝四角形AJEF－△AIF\] \[＝四角形ADEF－△ADJ－△AIF\] \[＝正六角形ABCDEF×(\frac{1}{2}－\frac{1}{6}－\frac{2}{19})\] \[\scriptsize＝四角形ADEF－△ADJ－△AIF\] \[\scriptsize＝正六角形ABCDEF×(\frac{1}{2}－\frac{1}{6}－\frac{2}{19})\] \[=正六角形ABCDEF×\frac{13}{57}\] そして、
    四角形ABHF
    \[＝四角形ABCF－△FHC\] \[＝正六角形ABCDEF×(\frac{1}{2}－\frac{2}{15})\] \[\scriptsize＝正六角形ABCDEF×(\frac{1}{2}－\frac{2}{15})\] \[＝正六角形ABCDEF×\frac{11}{30}\] 以上より、
    五角形CDJIH \[＝正六角形ABCDEF-四角形FIJE-四角形ABHF\] \[＝正六角形ABCDEF×(1－\frac{13}{57}－\frac{11}{30})\] \[\tiny＝正六角形ABCDEF-四角形FIJE-四角形ABHF\] \[\small＝正六角形ABCDEF×(1－\frac{13}{57}－\frac{11}{30})\] \[＝正六角形ABCDEF×\frac{77}{190}\]
  • 適度な難易度の問題で、灘受験生にはちょうどよかったと思います。
    ちなみに(3)を(2)の誘導に乗ってしまって、△AIFと△GIKの面積比を出して、それからAI：IJ：JKとFI：IH：HGを求めて△GHCと△DJKと△GIKの面積比を…とすると計算が爆死するのでご注意ください。
    というのも、僕、最初はそれでやってしまって13×13×55みたいな計算ばっかりで大変なことになりました。方針というのは結構大事です。

＜大問４＞

＜問題＞

はじめ、3枚のカード「１」「２」「３」が左からこの順に並んでいます。これらのカードの並べ替えを何回かします。１回の並べ替えにつき、次の(A)～(D)のどれか１つが行われます。
(A)　最も左にあるカードを右端に移動させる
(B)　最も右にあるカードを左端に移動させる
(C)　最も左にあるカードを残り２枚の間に移動させる
(D)　最も右にあるカードを残り２枚の間に移動させる
例えば、1回目に(A)、2回目に(C)の並べ替えをすると、カードの並びは
「１」「２」「３」　→　「２」「３」「１」　→　「３」「２」「１」 「１」「２」「３」　
→　「２」「３」「１」　
→　「３」「２」「１」 と変化します。
(1)　図で、線でつながれた並びどうしは、(A)～(D)のいずれか1回の並べ替えで変わります。右の図の９つの空欄に１～３のいずれかの数字を入れなさい。
(2)　３回の並べ替えで初めて「１」「２」「３」の並びに戻るような、３回の並べ替えの方法は全部で何通りありますか。
(3)　５回の並べ替えで初めて「１」「２」「３」の並びに戻るような、５回の並べ替えの方法は全部で何通りありますか。
(4)　(3)の並べ替えの方法のうち、(A)の並べ替えの回数と(B)の並べ替えの回数の合計が５回であるものは全部で何通りありますか。
(5)　(3)の並べ替えの方法のうち、(A)の並べ替えの回数と(B)の並べ替えの回数の合計が１回または３回であるものは全部で何通りありますか。
  • (1)例えば、元の数がABCだったとすると、条件より、ACB,CAB,BCA,BACには１回の操作で移れますが、CBAだけは最低でも2回の操作を要します。そこから考えていきます。
    問題の図で、数字の向かい側に入るものが、最低2回の操作を要しますから、123の向かい側には321、312の向かい側には213、231の向かい側には132を入れて右図のようになります。
    ここでも余事象的な考え方です。

    (2)もうここからは(1)で答えた図を使って、道順の問題のように考えていきます。3回の並び替えで初めて123に戻るんだから、123からスタートして、3本の道を通って123に戻ってくる順路を考えればいいです。
    もしも321まで到達してしまうとすると、到達に最低２本を通るということは、往復だと最低4本かかるということなので、3本の道では321まで到達できないです。
    ということで、残りの４つ（132,213,231,312）を経由して、123に戻ってくるということになります。1本目の選び方は、123からその４つのどれかにいく4通りで、2本目の選び方は、これは2通りになります。というのも、向かい側、321、123には行けないからです。3本目の選び方はもちろん123に戻ってくる1通りです。
    よって、4×2×1＝8通りです。

    (3)これは(2)と同様にしますが、5本で戻ってくるから321を通ってもいいです。そこで、321を通る場合と通らない場合で分けます。
    (ⅰ)321を通る場合
    今度は、321に何回目で到達するか、というのが問題になってきます。2本で到達するのか、3本で到達するのかということです。
    2本で到達する場合は、1本目の選び方が(1)同様に4通り、2本目の選び方は321に向かうので1通り、3本目の選び方は132,213,312,231のどれでもいいから4通り、4本目の選び方は、(1)と同様に向かい側,321,123には行けないから2通り。5本目は123に帰ってくるから1通り。よって4×1×4×2×1＝32通りです。
    3本で到達する場合は、同様にして、4×2×1×4×1＝32通りです。
    (ⅱ)321を通らない場合
    1本目は4通りで、2～4本目は向かい側,321,123には行けないから全部2通りで、5本目は1通りなので、
    4×2×2×2×1＝32通りです。
    $\therefore$ 32+32+32＝96通りです。

    (4)AまたはBの方法を使って通る道は、右図のようなルートになります。
    AとBの方法を使う回数の合計が5回、つまりすべてがAまたはBということで、右側の123－312－231の環状線しか通れないです。1本目の行き先は312と231のどちらかで2通りで、2～4本目は312と231を行ったり来たりするだけなので1通り、5本目は123に戻るだけなので1通り。
    よって2×1×1×1×1＝2通りです。

    (5)1回または3回の合計とか、余事象を使いたいです。
    AまたはBを使う回数としてありえるのは、0～5の5通り。1回と3回の合計を求めたいから、(3)で求めた全部の96通りから、0、2、４、５回を引きます。５回は既に(4)で求めたので、0回、2回、4回を引くことになるのですが、AまたはBが0回、2回、4回ということは、AでもBでもないのが5回、3回または１回（奇数回）出るということになります。
    AでもBでもないというのは、123－312－231環状線から132－213－321環状線に乗り換えるということです。この乗り換えの回数が奇数回ということは、最終的に132－213－321環状線にいることになります。これでは絶対に123に戻って来られないです。
    よって、AまたはBの並び替えの回数が0、2、4回のものはすべて0通りで、5回のものは(4)より2通りゆえ、1回または3回のものは、96ー0ー0ー0ー2＝94通りです。
  • 普通に楽しかったです。たいていの場合の数は方程式とかの技を使わないので、小学生も中学生もみんな同じ条件で解けるのが良いところです。

＜大問５＞

＜問題＞

図１は、1辺の長さが６㎝の立方体ABCD－EFGHです。この立方体の面EFGHは水平な地面についています。
この立方体から、図２の斜線部分の正方形を底面とし、高さが６㎝の直方体をくりぬきます。次に、図３の斜線部分の正方形を底面とし、高さが１㎝の直方体をくりぬきます。このようにしてできる図５の立体をPとします。
(1)　立体Pの体積は何㎤ですか。
(2)　立体Pを、頂点A, C, Fを通る平面で切って２つの立体に分けたとき、頂点Bを含む方の立体をQとします。
(ア)　右の図は、立方体の面EFGHから５㎝の高さにある平面で立体Qを切ったときの真上から見た切り口をかき入れたものです。その平面と面AEFBの交わりを太線で表しています。立方体の面EFGHから4㎝、3㎝、2㎝の高さにある平面で立体Qを切ったときの真上から見た切り口を、右の図にならってそれぞれかき入れなさい。
(イ)　立体Qのうち、面EFGHから2㎝の高さにある平面と面EFGHとではさまれた部分の立体の体積を求めなさい。
(ウ)　立体Qの体積を求めなさい。
  • (1) $Pの体積=(6×6－4×4)×6－2×2×1×2＝112$ $x\\=(6×6－4×4)×6－2×2×1×2\\＝112$
    (2)
    切断図はこの図のようになります。あ、図がおかしいのは気にしないでください。
    (ア)図がかければわかります。答えだけです。




    (イ)と(ウ)まとめて

    上から順に、立体Pの下から4～6㎝、下から2～4㎝、下から0～2㎝の立体を表しています。この図より、
    下から4～6㎝ \[6\times6\times\frac{1}{2}\times6\times\frac{1}{3}\times\frac{27-8}{27}-4\times4\times\frac{1}{2}\times4\times\frac{1}{3}\times\frac{8-1}{8}=16\] \[6\times6\times\frac{1}{2}\times6\times\frac{1}{3}\times\frac{27-8}{27}\\ \ \ \ \ \ \small-4\times4\times\frac{1}{2}\times4\times\frac{1}{3}\times\frac{8-1}{8}\\=16\]
     下から2～4㎝ \[2\times2\times2\times\frac{17}{24}=\frac{17}{3}\] 下から0～2㎝ \[2\times2\times\frac{1}{2}\times2\times\frac{1}{3}=\frac{4}{3}\] \[\therefore\ V=16+\frac{17}{3}+\frac{4}{3}=23\] ※下から2～4㎝のところで、$ \dfrac{17}{24}$という謎の分数が登場していますが、まあ知る人ぞ知る公式で、下から2～4㎝の立体のような感じで点と点と中点と中点を結んで切断したら体積比が7：17になるという謎の中学受験公式です。あまりにも活躍の場が狭すぎる暗記公式としてかわいそうなので使ってあげました。
  • 図をちゃんと描けば得点できると思いますけど、時間が足りるかどうかです。
    なお本年度の２日目の問題ですが、全体的に難問が多い例年通りの感じでした。
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