三角錐の切断の体積比公式！

こんにちは。萃聚(すいじゅ)です。
結構この公式は有名ですし、中学受験生なら一度は聞いたことがあると思います。中学に入ってからみんな全然使わなくなりましたが…

＜公式＞

この式を言い換えてやると、 \[\frac{O-DEF}{O-ABC}=\frac{OD\times O E\times O F}{OA\times O B\times O C}\] です。なお、比と分数って実質同じです。化学の先生が「高校になったら比はほぼ使わず、分数で計算する」と仰っていましたけど、確かに分数の方が計算しやすいです。

証明のようなもの

では、軽く証明のようなものをしていきましょう。図のように、三角錐を横に倒してみると、 まず、 \[\frac{\triangle O E F}{\triangle O B C}=\frac{OE\times O F}{OB\times O C}\] （勝手に使ってますが、これを証明するのは難しくないので省略しました。ごめんなさい）
次に、D、Aから平面OBCに下ろした垂線の足をそれぞれI,Hとすると、DIとAHは平行になりますから、 \[ \frac{DI}{AH}=\frac{OD}{OA}\] です。
以上より、
\[\begin{eqnarray*}\frac{O-DEF}{O-ABC}&=& \frac{\triangle O E F\times D I\div3}{\triangle O B C\times A H\div3}&=& \frac{\triangle O E F}{\triangle O B C}\times\frac{DI}{AH}&=& \frac{OE\times O F}{OB\times O C}\times\frac{OD}{OA}&=& \frac{OD\times O E\times O F}{OA\times O B\times O C}\end{eqnarray*}\] \[\begin{eqnarray*}\frac{O-DEF}{O-ABC}&=& \frac{\triangle O E F\times D I\div3}{\triangle O B C\times A H\div3}\\&=& \frac{\triangle O E F}{\triangle O B C}\times\frac{DI}{AH}\\&=& \frac{OE\times O F}{OB\times O C}\times\frac{OD}{OA}\\&=& \frac{OD\times O E\times O F}{OA\times O B\times O C}\end{eqnarray*}\] が導けました。

注意点

ただしこの公式には注意しなければならないことがあります。
三角錐では成立しますが、四角錐やそれ以上の角錐では成立しないということです。
導く過程を考えてやれば当然のことです。
図のように四角錐O-ABCDをEFGHで切ったとき、どうやっても\[\frac{O-EFGH}{O-ABCD}=\frac{OE\times O F\times O G\times O H}{OA\times O B\times O C\times O D}\] なんて成り立ちません。
ですから四角錐で使用する場合は、三角錐２つに分けて使用します。