折り返しでの合同な三角形！

こんにちは。萃聚(すいじゅ)です。
僕の学校の人も全然知らない無名の技ですが、中学受験でも高校受験でもとても役立つ技ですので、知っておくと良いんじゃないかと思います。無論、そこまで覚える必要はないですが。

技

図のような折り返しを考えます。あ、灰色部分が折り返したところです。
そしてその次の図で、青の△PQHと赤の△RCDに注目してみてください。HはQからCDに下ろした垂線の足です。
実は青と赤の三角形は合同になります。

証明のようなもの

△PQHと△ RCDにおいて、
四角形QBCHは長方形だから
　QH＝BC
正方形の辺より
　BC＝CD
よって
　QH＝CD　…①
また、
　∠PHQ＝∠RDC＝90°…②
ところで、CをPQで折り返してRに重なるので、PQはCRの垂直二等分線であるから
　∠QST＝90°…③
仮定より
　∠THC=90°…④
③,④より
　∠QST＝∠THC=90°…⑤
対頂角より
　∠STQ＝∠HTC　…⑥
△STQと△HTCにおいて、⑤,⑥より二角が等しいから残りの角も等しいので、
　∠PQH＝∠RCD　…⑦
したがって、①,②,⑦より
　△PQH≡△RCD（二角夾辺相等）　
＜終＞
少し丁寧にやりすぎた感がありますがまあいいでしょう。

備考

たぶん折り返しの問題ではこの方法が一番早いんじゃないかなぁと思います。無論、暗記する必要はないですが、合同が使えたなぁということは頭のどこかに置いておくといいかもしれません。
ちなみに、この図のように折り返す図形が正方形ではなく長方形の場合は、青と赤の三角形が相似になります。証明手順は先ほどと同じで、長方形なのでQH＝DCが抜けているだけで、
∠PHQ＝∠RDC＝90°
∠PQH＝∠RCD
は成り立ちますから、二角相等で相似です。