灘中が私立難関高校レベルの問題を出してきた　～2019灘中入試大問７～

こんにちは。萃聚(すいじゅ)です。
… 中学受験生のとき、僕は方程式を愛していました。これさえあればどんな文章題も粉砕できる、そう思っていました。でも、この問題はそんな僕の「方程式一神教」を打ち砕いたのです。世の中には方程式で全然解けない問題もあるのか、と衝撃を受けました。
その思い出深い問題を、改めて方程式で解いていきます。リベンジしてやりましょう。中学生である僕ならどうにかできるはずです。
まず問題から。

問題

A地点とB地点を結ぶ道を, 太郎君はAからBへ, 次郎くんはBからAへ向かって, それぞれ一定の速さで同時に走り始めました。
2人の間の距離は3分間に1kmの割合で縮まりました。
途中,2人はC地点で出会うとすぐに折り返し, 速さをそれぞれ時速１kmだけおとして, 来た道を戻りました。
2人はそれぞれA, Bに到着してすぐに折り返し, Cよりも130ｍだけAに近いD地点で再び出会いました。
Dで出会った2人はまたすぐに折り返し, 速さをさらにそれぞれ時速1kmだけおとして, 来た道を戻りました。
そして,2人はそれぞれA, Bに到着してすぐに折り返し, Dよりも□ｍだけAに近いE地点で出会いました。

リベンジ解説

まず、最初の太郎君の速さを $a$〔km/h〕と置きます。最初は3分間に1㎞縮まるから、太郎君と次郎君は合計で20〔km/h〕の速さです。つまり次郎君は最初 $20－a$〔km/h〕で進んでいたことになります。 続いて、AB間の距離を $n$〔km〕と置きます。 こうしていくと、図のようなダイヤグラムができるわけです。見づらいですが求めたい距離はDEの長さです。さて、まず、$a$ と $n$ について関係式を立てなくてはなりません。文字２つだから式が２つほしいのですが、灘はそんなにやさしい学校ではありません。１つしか式をくれません。ただし、文字を１つ減らすことはできます。ではやっていきましょう。
まず緑の区間に注目して \[AC=n\times\frac{a}{a+(20-a)}=\frac{an}{20}\] 次にピンクの区間に注目して \[AD=\frac{2n\times\dfrac{a-1}{\left(19-a\right)+(a-1)}-0.13}{2}=\frac{n(a-1)}{18}-\frac{13}{200}\] \[ \begin{eqnarray*} AD &=& \frac{2n\times\dfrac{a-1}{\left(19-a\right)+(a-1)}-0.13}{2}\\&=& \frac{n(a-1)}{18}-\frac{13}{200} \end{eqnarray*} \] 以上2つの式より、$CD=AC-AD$ だから、
\[0.13=\frac{an}{20}-\left\{\frac{n\left(a-1\right)}{18}-\frac{13}{200}\right\}\] \[\frac{13}{200}=\frac{an}{20}-\frac{n\left(a-1\right)}{18}\] \[117=90an-100n(a-1)\] \[117=-10an+100n\] \[117=10n\left(-a+10\right)\] \[n=\frac{117}{10(-a+10)}\] これで文字がaの１つになりました。もう１つの式は出てきませんが、次へ進みます。
この辺りで、DE=□〔m〕= $x$〔km〕と置いておきましょう。
オレンジの区間に注目して、$DE=AD-AE$ より（ADは先ほど求めた）、
\[x=\left\{\frac{n(a-1)}{18}-\frac{13}{200}\right\}-\left\{\frac{2n\times\dfrac{a-2}{\left(18-a\right)+\left(a-2\right)}-x}{2}\right\}\] \[\small x=\left\{\frac{n(a-1)}{18} -\frac{13}{200}\right\}\\ -\left\{\frac{2n\times\dfrac{a-2}{\left(18-a\right)+\left(a-2\right)}-x}{2}\right\}\] 両辺2倍して \[2x=\frac{n(a-1)}{9}-\frac{13}{100}-\frac{2n(a-2)}{16}+x\] \[x=\frac{n(a-1)}{9}-\frac{13}{100}-\frac{n(a-2)}{8}\] \[x+\frac{13}{100}=\frac{n(a-1)}{9}-\frac{n(a-2)}{8}\] \[x+\frac{13}{100}=n\left(\frac{a-1}{9}-\frac{a-2}{8}\right)\] \[x+\frac{13}{100}=n\left(\frac{-a+10}{72}\right)\] ここで、先ほど求めた $n$ を代入してあげます。 \[x+\frac{13}{100}=\frac{117}{10(-a+10)}\times\frac{-a+10}{72}\] なんということでしょう。$(-a+10)$ がきれいに消されるではありませんか。 \[x+\frac{13}{100}=\frac{117}{10}\times\frac{1}{72}\] \[x=\frac{13}{400}〔km〕\] これはkmが単位ですので、mに直してあげて、 \[□〔m〕=\frac{13}{400}\times1000=\frac{65}{2}〔m〕\] となるわけです。これにてリベンジ達成です。やったぜ。

余談

なお、当時の僕は方程式に慣れすぎていて、この問題の解答の算数的解法を聞いてもさっぱりでしたので、どうしようもないと思って太郎君の速さを勝手に時速～kmと決めて、代入してみました。すると答えが合ってしまいました。ただの偶然かなと思って別の数を入れてみたらこれもまた答えが合うのです。当時の僕は大変不思議に思いました。ですが今の僕にならわかります。
この式の途中、 \[x+\frac{13}{100}=\frac{117}{10(-a+10)}\times\frac{-a+10}{72}\] とあり、$\left(-a+10\right)$ で約分されるので、太郎君と次郎君が時速何キロで走っているかということはどうでも良くて（大事なのは合計の速さ）、適当に速さを決めてしまっても答えが合ってしまうんです。
かつての謎を数年の時を経て解き明かせるなんて、なんか久しぶりに友人に会った感覚がして懐かしく、うれしくなります。